εξίσωση

Κάθε προτασιακός τύπος της μορφής φ(x) = ψ(x), όπου φ και ψ συμβολίζουν συναρτήσεις της αυτής μεταβλητής x, ενώ οι τιμές τους ανήκουν στο ίδιο σύνολο, έστω Σ. Το σύμβολο x ονομάζεται: ο άγνωστος της ε. Αν Ε είναι το σύνολο που διατρέχει η μεταβλητή χ, τότε ενδέχεται να υπάρχουν τιμές χ = x∈Ε τέτοιες, ώστε να είναι φ(x) = ψ(x). Κάθε τέτοια τιμή ονομάζεται: λύση της ε. φ(x) = ψ(x). Το σύνολο των λύσεων μιας ε. ενδέχεται να είναι το κενό (Ø)· η ε. τότε λέγεται αδύνατη. Το ίδιο σύνολο μπορεί να είναι το Ε· τότε η ε. λέγεται αόριστη (είναι μια ταυτότητα στο Ε, όπως λέγεται). Για παράδειγμα η x² – 5x + 6 = 0, με Ε το σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι μία ε.· οι λύσεις της είναι x₁ = 2, x₂ = 3. Επίσης x² + x + 1 = 0, με Ε το σύνολο R είναι μία ε.· το σύνολο των λύσεών της είναι το Ø. Η ίδια ε. x² + x + 1 = 0 με σύνολο Ε το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών έχει δύο (και μόνο) λύσεις, τους μιγαδικούς αριθμούς . Έστω Ε το σύνολο R x R, των διατεταγμένων ζευγών από πραγματικούς αριθμούς· τότε 3x + ψ’’ = x + ψ – 1, x² + ψ² = xψ + x + 1 είναι ε. Τέτοιες ε. λέγονται ε. με δύο αγνώστους, σε αντίθεση με τις προηγούμενες, που ήταν ε. με έναν άγνωστο. Γίνεται κατανοητό, λοιπόν, τι σημαίνει ε. με τρεις, τέσσερις κλπ. αγνώστους. Κάθε ε. φ = 0, όπου φ συμβολίζει πολυώνυμο με 1, 2 … κλπ. μεταβλητές και τους συντελεστές τους ρητούς αριθμούς ονομάζεται αλγεβρική (με έναν, δύο κλπ. αγνώστους). Κάθε μη αλγεβρική ε. ονομάζεται υπερβατική, για παράδειγμα 3x + x = 5, logx = x2 + 1. Ο βαθμός του πολυώνυμου φ ονομάζεται βαθμός της ε. Έτσι 3x + 5 = 0, x² – 2x + 3 = 0 είναι ε. αλγεβρικές, 1ου βαθμού η α’, 2ου βαθμού η β’ με έναν άγνωστο. Η x² + xψ – 2ψ + 1 = 0 είναι επίσης αλγεβρική ε. 2ου βαθμού ως προς x με δύο αγνώστους. Υπάρχουν προβλήματα, που η λύση τους ανάγεται (μεταφράζεται) στην εύρεση των λύσεων ε. διαφόρων τύπων. Στη μέση εκπαίδευση διδάσκονται μερικοί χρήσιμοι τύποι ε. Έτσι: 1) αx + β = 0, είναι ο γενικός τύπος της ε. του 1ου βαθμού (α, β νοούνται πραγματικοί αριθμοί, μπορεί όμως να νοούνται και –γενικότερα– ως μιγαδικοί αριθμοί). Για α ≠ 0 η προηγούμενη ε. έχει μία μόνο λύση, τη χ = – β/α, για α = 0, β ≠ 0 καμιά λύση (αδύνατη), για α = 0 και β = 0 είναι ταυτότητα (αόριστη). 2) αx2 + βχ + γ = 0 (α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, α ≠ 0) είναι ο γενικός τύπος της ε. 2ου βαθμού με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς (η ίδια ε. μπορεί να νοηθεί και με τους συντελεστές της μιγαδικούς αριθμούς). Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της προηγούμενης ε. δίνονται με τον τύπο: (πάντοτε με τους α, β, γ πραγματικούς αριθμούς). 3) x^v = α (α πραγματικός είτε –γενικότερα– μιγαδικός αριθμός, ν φυσικός) είναι ο γενικός τύπος της διώνυμης ε. Το πλήθος των λύσεών της είναι ν (οι νιοστές ρίζες του α συμπίπτουν σε μία μόνο, αν είναι α = 0· για α ≠ 0 είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους). 4) αx^2ν + βx^ν+ γ (α, β, γ πραγματικοί είτε –γενικότερα– μιγαδικοί αριθμοί, ν φυσικός) είναι ένας γενικός τύπος τριώνυμης ε. Η ε. αυτή ανάγεται στο σύστημα: (αψ² + βψ + γ = 0, χ^v = ψ). Ειδικά για ν = 2 η προηγούμενη ε. Ονομάζεται διτετράγωνη. 5) Αντίστροφες ε.: τέτοιες είναι (εξ ορισμού) οι: α₀x^v + α₁x^v-1 + ... + α_ν-1x + α_ν = 0 όπου ισχύει: ή α = α_ν-κ, για κάθε κ = 0, 1, 2, ..., ν ή α_κ + α_ν-κ = 0 για κάθε κ = 0, 1, 2, ..., ν. Η αντικατάσταση του x με 1/x μετασχηματίζει την αντίστροφη ε. σε ισοδύναμή της. 6) αx + βψ = γ, όπου α, β, γ ακέραιοι αριθμοί και όπου ως σύνολο Ε (που προαναφέρθηκε) νοείται το Ζ x Ζ (όπου Ζ συμβολίζει το σύνολο των ακέραιων αριθμών). Με άλλα λόγια εδώ ζητούνται οι λύσεις (x, ψ) όπου οι x, ψ είναι ακέραιοι αριθμοί (ειδικότερα φυσικοί). Οι ε. αυτού του τύπου ονομάζονται διοφαντικές ε. 1ου βαθμού (ο πρώτος που θεώρησε τέτοιες ε. με αφορμή προβλήματα ορισμένης φύσης ήταν ο Διόφαντος). Είναι κατανοητό, λοιπόν, ότι μπορεί να θεωρήσουμε και ε. βαθμού μεγαλύτερου του 1ου, όπου να ζητούνται ακέραιες λύσεις. Οι ε. αυτού του τύπου ονομάζονται όπως και οι προηγούμενες, διοφαντικές ανώτερου βαθμού. Μπορεί επίσης να θεωρήσουμε και συστήματα από διοφαντικές ε. (διοφαντικά συστήματα). 7) Λογαριθμικές ε.: σε αυτές, ο άγνωστος εμφανίζεται με τον λογάριθμό του (ως προς μία οποιαδήποτε βάση), για παράδειγμα, 3logx + log2x = 1. 8) Εκθετικές ε.: σε αυτές, ο άγνωστος εμφανίζεται ως εκθέτης, για παράδειγμα, 3^x – 27 = 0. 9) Τριγωνομετρικές ε.: για παράδειγμα, ημx + 2συνx = 2, εφx + σφx = 1. Αν ο άγνωστος (γενικότερα: οι άγνωστοι) της ε. είναι συνάρτηση που εμφανίζεται στην ε. και με παραγώγους της (ενδεχομένως και μερικές παράγωγες, αν η συνάρτηση είναι περισσοτέρων μεταβλητών), τότε η ε. χαρακτηρίζεται ωςδιαφορική ε. Αν η άγνωστη συνάρτηση είναι μιας μεταβλητής, τότε η διαφορική ονομάζεται συνήθης, αλλιώς ονομάζεται διαφορική ε. με μερικές παραγώγους. Μία συνήθης διαφορική ε. μπορεί να συμβολιστεί F(x, ψ, ψ’, ψ’’, ..., ψ^(ν)) = 0, όπου ψ είναι η άγνωστη συνάρτηση και χ η μεταβλητή της. Ο ν (= 1, 2, ...) ονομάζεταιτάξη της διαφορικής ε., για παράδειγμα, ψ’ – χψ = 0 (διαφορική ε. 1ης τάξης), ψ’’ – 5xψ + x² = 0 (διαφορική ε. 2ας τάξης). Μία συνήθης διαφορική ε. εμφανίζεται και λυμένη ως προς την παράγωγο της μεγαλύτερης τάξης: ψ^(ν) = f(x, ψ, ψ’, ..., ψ^(ν-1))· η μορφή αυτή ονομάζεται κανονική. Η άγνωστη συνάρτηση ψ, η μεταβλητή x και οι συναρτήσεις F, f μπορεί να είναι γενικά μιγαδικές. Στην περίπτωση που αυτές είναι πραγματικές, λέγοντας ότι ψ(χ), χεΙ είναι μια λύση της διαφορικής ε. εννοούμε ότι η συνάρτηση ψ είναι τέτοια, ώστε να επαληθεύσει τη διαφορική ε. (το Ι νοείται ένα διάστημα). Το πρόβλημα που μπαίνει από μια διαφορική ε. είναι: α) να εξεταστεί αν υπάρχουν λύσεις της (πρόβλημα ύπαρξης λύσεων) και β) σε περίπτωση που υπάρχουν λύσεις, να βρεθούν (υπολογισμός των λύσεων). Ονομάζεται γενικό ολοκλήρωμα (γενική λύση) μιας διαφορικής ε. μία συνάρτηση που περιέχει τόσες σταθερές όση η τάξη της διαφορικής ε. και την επαληθεύει. Κάθε λύση που προκύπτει από τη γενική λύση της διαφορικής ε., αν οι σταθερές αντικατασταθούν με ορισμένες τιμές, ονομάζεται: μερική λύση (μερικό ολοκλήρωμα) της διαφορικής ε. Συμβαίνει να υπάρχουν (όχι πάντοτε) και λύσεις μιας διαφορικής ε., που δεν προκύπτουν από το γενικό ολοκλήρωμα της διαφορικής ε. με τον προηγούμενο τρόπο. Κάθε τέτοια λύση ονομάζεται ιδιάζουσα. Στην περίπτωση διαφορικής ε. 1ης τάξης το γενικό ολοκλήρωμα περιέχεται σε μια ε. της μορφής Φ(x, ψ, c) = 0. Η ε. αυτή για κάθε τιμή της σταθεράς c παριστάνεται στο επίπεδο με μια καμπύλη· κάθε τέτοια ονομάζεται καμπύλη ολοκλήρωσης της διαφορικής ε. Παρατίθενται, χωρίς αυστηρότητα, μερικά αξιοσημείωτα παραδείγματα συνήθων διαφορικών ε. και με μερικές παραγώγους. Ε. που οι μεταβλητές χωρίζονται είναι εκείνες του τύπου (ή που ανάγονται σε αυτόν) ψ’ = f(x)/g(Ψ) (όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις). Το γενικό ολοκλήρωμα περιέχεται στον τύπο: jg(Ψ)dψ = jf(x)dx + c, όπου το j συμβολίζει ένα αόριστο ολοκλήρωμα και το c μια σταθερά. Για παράδειγμα, η διαφορική ε. ψ’ = x + ψ με την αντικατάσταση x + ψ = u μετασχηματίζεται στη du/dx = 1+u, απ’ όπου με ολοκλήρωση προκύπτει log |1 + u| = x + α, 1 + x + ψ = ce_x (ετέθη c = ± e^α). Στον τύπο αυτόν περιέχονται όλες οι λύσεις της αρχικής διαφορικής ε. αν η σταθερά c παίρνει κάθε τιμή (και τη c = 0, οπότε στον προηγούμενο τύπο περιέχεται και η λύση ψ = –x – 1, που δεν προέκυψε με την ολοκλήρωση, διότι κατ’ αυτή το c = ± e^α είναι ≠ 0). Ομογενείς ε. εκείνες της μορφής (ή που ανάγονται σε αυτή) ψ’ = f(ψ/x) είναι αυτές που ανάγονται στον προηγούμενο τύπο με την αντικατάσταση Οι ε. του Μπερνούλι: ψ’ + αψ = βψ^ν όπου α, β συναρτήσεις της μεταβλητής x και ν πραγματικός αριθμός (ειδικότερα οι γραμμικές ε. ψ’ + αψ = β). Αν ν ≠ 1, 0, τότε η αντικατάσταση u = ψ^1-ν μετασχηματίζει την ε. του Μπερνούλι σε γραμμική. Η ε. του Κλερό: ψ = xψ’ + β(ψ’). Το γενικό ολοκλήρωμα δίνεται με τον τύπο: ψ = cx + β(c) (c = σταθερά). Στην περίπτωση που η συνάρτηση β παραγωγίζεται συμπεραίνεται ότι μία ακόμα λύση δίνεται παραμετρικά από το ζεύγος: x = -β’(t), ψ = tx + β(t) (ιδιάζουσα λύση). Η ε. των Ντ’ Αλαμπέρ-Λαγκράνζ ψ = x_α(ψ’) + β(ψ’)· όπου δεν ισχύει α(t) = t για κάθε t του πεδίου ορισμού της συνάρτησης α. Στην περίπτωση που οι συναρτήσεις α, β παραγωγίζονται με διαφόριση και αντικατάσταση του ψ’ με t φτάνουμε στη γραμμική ε. (άγνωστη συνάρτηση η x της t). Η ε. του Μπέσελ: x²ψ’’ + xψ’ + (x² – ν²) ψ = 0, ν ακέραιος. Είναι μία ειδική περίπτωση γραμμικής διαφορικής ε. 2ας τάξης. Οι λύσεις της είναι γνωστές ως συναρτήσεις του Μπέσελ. Η ε. αυτή έχει εφαρμογή στη φυσική και στην τεχνική. Η ε. των παλλόμενων χορδών (με μερικές παραγώγους) Το γενικό ολοκλήρωμα είναι ψ = f₁(x – υt) + f₂(x + υt), όπου f₁, f₂ αυθαίρετες συναρτήσεις. Η ε. του Λαπλάς (με μερικές παραγώγους Η άγνωστη συνάρτηση u είναι εδώ ν (≥2) μεταβλητών. Σύντομα, η προηγούμενη ε. γράφεται συνήθως Δu = 0, όπου Δ ονομάζεται τελεστήςτου Λαπλάς. Η ε. του Λεζάντρ: (1-x²) d²y/dx² - 2x dy/dx + v (ν + 1) y = 0. Η ε. του Ρικάτι, ειδικότερα:

* * *

η (AM ἐξίσωσις) [εξισώνω]

η αποκατάσταση τής ισότητας ανάμεσα σε δύο ή περισσότερα πράγματα

νεοελλ.

ισότητα τής οποίας τα δύο μέλη είναι ίσα, όταν ένα ή περισσότερα στοιχεία τους λάβουν συγκεκριμένες τιμές

| μσν. αναδασμός

αρχ.-μσν.

προσδιορισμός τών φόρων με βάση την αναλογία

αρχ.

ισοπέδωση.